Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .  
Pero,  y  

Luego,  

Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,  

(1) 

Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.  

Por hipótesis,  (2)  

Se debe probar que  

 
 

 

 
 

De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.  
 

TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)  

i.  La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y²=2px(3). Recíprocamene si un punto P del plano, satisface (3) entonces P x PDD-F  

ii.  La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x² = 2py (4) 

iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F
 

fig. 6.1.3. 
 
fig. 6.1.4. 
 

Observaciones: 

i. En la  fig.  6.1.3. aparecen  las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba  (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados en el punto
F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2.  

Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en una potencia par.  

ii. Igualmente, las gráficas de la fig. 6.1.4. corresponden a las gráficas de parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.  
 

6.1.2. Traslación de Ejes 

En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:  

ó  

Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene.  

De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin cambiar la forma de la gráfica (fig. 6.1.5.).  
 
 

fig. 6.1.5.

Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los  ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios  que  se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde- nadas x’ e y’ paralelo a los ejes x e y, se toma un  punto fijo  o’(h, k) que  se llama: ORIGEN del nuevo sistema.  

Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x’, y’) referidas al sistema x’-y’ vienen dadas por las relaciones:  
 
 
 

x = x’ + h (1)     y = y’ + k (2)     llamadas: ECUACIONES DE     TRASLACIÓN DE EJES, y que   pueden deducirse fácilmente de la fig.  6.1.6.

 

fig. 6.1.6.Observación: 

La traslación de ejes modifica la ecuación de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la forma de la curva.  

Una aplicación útil de la traslación de ejes se consigue cuando se obtienen las ecua- ciones generales de la parábola, con vértice en el punto V (h, k) referido al sistema x-y y para las cuales la directriz es perpendicular a uno de los ejes.  

Si  se toma  como referencia los ejes x’ e y’, hallar las ecuaciones de la parábola con vértice en V(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la parábola con vértice en (0, 0) referido al nuevo sistema.  

Las ecuaciones  ,   permiten escribir las ecuaciones en forma general de la parábola, como lo afirma el siguiente teorema:  
 

6.1.3. Teorema2 (Ecuaciones de la parábola. Forma general)

i. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en  y por directriz la recta: 
(fig. 6.1.7.) viene dada por:  

(1) 

fig. 6.1.7. 
 

ii. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en  y por directriz la recta:  
(fig. 6.1.8.) viene dada por:  

(2) 
  fig. 6.1.8. 
 

Demostración: 

Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x’-y’ y luego hacer  e  
 

Observación: 

Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después de simplificarlas, pueden expresarse en la forma:  
(3)  
(4)  

En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cua- drado y la otra lineal. La parábola siempre se abre en la dirección del eje cuya varia- ble aparece lineal.  
Así por ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0)  o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuación (4) representa  una parábola  abierta  hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0).  

6.1.4. Valores máximos y mínimos de una parábola 

Se ha visto en la sección precedente que la ecuación   (1) puede escribirse (completando cuadrados) en la forma (2) y representa una parábola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) ó hacia abajo (p < 0).  

Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x²), determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y también determina si el vértice es un punto máximo o mínimo de la curva.  

                              fig. 6.1.9. (a)                                           fig. 6.1.9. (b)  
 

Si como en la fig. 6.1.9.(a), la parábola se abre hacia abajo, el vértice V (punto mas alto de la curva)  es llamado  el punto máximo de la parábola. El valor de la ordenada correspondiente es el valor máximo de la función que ella representa.  

Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba (fig. 6.1.9.(b)), el vértice V es llama- do el punto mínimo de la parábola; y el correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la función.  

Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero no ambos.